Für die Zubereitung zuerst die Kartoffeln schälen, in Scheiben schneiden, anschließend füretwa 8 - 10 Minuten in Salzwasser vorkochen, durch ein Sieb abseihen.Eine feuerfeste Auflaufform, oder zwei kleinere Portionsformen, mit etwas Butter ausstreichen.Den Backofen auf 210 ° C vorheizen, dabei den Backofenrost in der Mitte der Backröhre einschieben.Die Kartoffelscheiben auf den Boden der Form legen. Champignons mit einem Küchenpapier abreiben, anschließend in Scheiben schneiden.Paprikaschote halbieren, putzen, waschen, in kleine Würfel schneiden.Fleischtomate enthäuten, das innere Kerngehäuse herausdrücken, in kleine Würfel schneiden.Bei normalen Gemüsetomaten gleich vorgehen. Eine beschichtete Pfanne mit 2 TL Olivenöl ausstreichen, das Hackfleisch in der kalten Pfanne im Öl etwas wälzen.Die Champignonscheiben mit in die Pfanne geben, mit dem Hackfleisch vermischen. Nun erst die Pfanne erhitzen und unter häufigem Wenden sanft anbraten.Die Paprikawürfel hinzu geben und auch diese noch etwa 1 Minute mit anschmoren.Den Pfanneninhalt mit Salz, Pfeffer und 1 TL getrockneten Kräutern der Provence kräftig würzen, anschließend das Ganze auf die Kartoffelscheiben in der Auflaufform geben.Den ganzen Auflauf zuletzt mit den Tomatenwürfeln bedecken, leicht salzen. Zwei Eier zusammen mit etwa 8 EL Brühe in einer kleinen Schüssel verquirlen, anschließend den ganzen Auflauf damit begießen und in den vor geheizten Backofen stellen.Den Auflauf, in der Mitte der Backröhre stehend,mit Ober/Unterhitze, bei 210 ° C etwa 20 Minuten überbacken. In den letzten 2 Minuten der Backzeit, den geriebenen Käse darüber streuen und diesen gerade schmelzen lassen, danach den Auflauf sofort aus dem Ofen nehmen und noch schön heiß zu Tisch bringen.